El Museo de Arte Abstracto Español, de Cuenca, está situado en las Casas Colgadas, cedidas por el Ayuntamiento. "No pretendíamos hacer un museo historicista, sino un lugar que aportara unas peculiaridades museísticas de calidad, que en muchos aspectos fueron precursoras", señalaba su creador Fernando Zóbel. Tras apuntar que el lugar privilegiado -las Casas voladas sobre la pared rocosa que da al río Huécar- lo hace quizás único en el mundo de los museos de arte abstracto, el pintor señalaba que, al encontrarse con un edificio que podían planear casi íntegramente, su diseñador -Gustavo Torner- pudo aplicar una serie de teorías museísticas que se han manifestado muy positivas. "Por ejemplo, el intentar que no se vea más de un cuadro o de una obra a la vez; o el que cada una tenga la iluminación específica requerida para la misma."

Los edificios (llamados Casas Colgadas, o Colgantes, o Voladas, o Casas del Rey) conservan algunos restos auténticos de las originales Casas Colgadas, como un tramo de escalera, un arco gótico isabelino o un artesonado mudéjar. Pero han sido reconstruidos casi en su totalidad con estructura de viguería de pino, mampostería y yeso, con balcones o voladizos adosados al edificio. Aunque las primitivas Casas Colgadas -como señala José Luis Muñoz en un libro sobre el tema- no se sabe ni cuándo ni cómo surgieron, ni para qué sirvieron ni cómo evolucionaron, se supone que no eran edificios singulares sino un conglomerado urbano, consustancial con la ciudad. Se sabe que uno de los edificios fue ocupado a finales del siglo XV por Gonzalo González de Cañamares, que hasta 1762 sirvieron de Casa Consistorial y que el Ayuntamiento adquiere la primera de ellas en 1905 por 1.500 pesetas. Abandonadas y en ruinas, se intenta su reconstrucción en diferentes momentos de este siglo hasta que los tres bloques de edificios -uno de ellos destinado a Mesón- se restauran.

La restauración fue realizada por los arquitectos municipales Fernando Barja y Francisco León Meler; el primero de los cuales proyectó también la ampliación del Museo, que fue reinaugurado el 28 de noviembre de 1978, tras la ayuda de la Caja Provincial de Ahorros de Cuenca, Diputación y el propio Ayuntamiento.

Desde  que la Fundación Juan March se hizo cargo del Museo, esta institución ha llevado a cabo diversas mejoras y remodelaciones en el mismo, en 1985, en 1994, con la creación de las actuales salas para exposiciones temporales; y la más reciente, en 2001, año en el que se llevaron a cabo diversas obras de reacondicionamiento: se aumentó la seguridad del edificio, se reformó el taller escolar y se mejoró el sistema de iluminación de la sala de exposiciones temporales. Además se realizó una nueva distribución de la obra expuesta.

Recientemente la Fundación Juan March ha restaurado el artesonado de una de las dependencias de las Casas Colgadas: la denominada Sala Gonzalo González de Cañamares, en la que se conservan restos originales del edificio del siglo XV.